اتفاقات تصادفی همه جا هستن. اما در کمال تعجب بررسی اتفاقات تصادفی به کمک ریاضیات علم نسبتا تازه ایه و اون زمانی بود که یک قمار باز برای حل مشکل اش درخواست کمک از یک ریاضی دان کرد.
از زمان های قدیم انسان ها به صورت آگاهانه پدیده های تصادفی رو رقم می زدن. اون ها معمولا از تاس و با استخون های حیوانات برای قمار و سرگرمی و یا پیشگویی و ارتباط با خدایانشون استفاده می کردن. اما تقریبا از سال 1600 میلادی ریاضیات به پدیده های تصادفی هم ورود کرد. در اواسط قرن هفدهم مکاتبه ای بین پاسکال و فرما، دو تن از بزرگ ترین ریاضی دانان تاریخ در مورد سوال یک قمارباز صورت می گیره که این مکاتبات منجر به به وجود آمدن علم احتمال میشه. و سال ها بعد برنولی احتمال رو به عنوان شاخه ای از علم ریاضی مطرح می کنه و لاپلاس اون رو به اوج می رسونه.
کاربرد احتمال
علم احتمال امروزه به طور گسترده در آزمایش های زیست شناسی و روانشناسی و حتی امور اقتصادی به کار میره. همچنین به کمک علم احتمال میشه مدل های متعددی برای مطالعه نوسانات بازار سهام و تعیین میزان ریسک به وجود آورد. احتمالا شما در برنامه های پیش بینی آب و هوا که معمولا در گوشی های همراه وجود داره دیدید که از اصطلاح chance of یا احتمال بارش استفاده شده. چون پیش بینی به صورت دقیق ممکن نیست، هواشناسان از اصطلاح احتمال استفاده می کنن. مثلا وقتی گفته میشه امروز احتمال بارش باران 30 درصده یعنی در بین 100 روزی که شرایط آب و هوایی مثل دما، میزان رطوبت و غیره شبیه امروز بوده، 30 روز باران اومده. یا مثلا از علم احتمال در انتخاب روش درمان سرطان در آزمایشگاه ها استفاده میشه. یعنی به کمک علم احتمال تعیین میشه کدوم روش شانس بیشتری نسبت به سایر روش ها در درمان نوع خاصی از سرطان داره. در علم بیمه، کارشناسان به کمک قوانین احتمال، نرخ بیمه و احتمال استفاده از اون توسط مشتری رو تعیین می کنن. از کاربرد های علم احتمال میشه به بازی های مختلفی که براساس انتخاب های تصادفی رخ میده اشاره کرد. از موفق ترین اون ها میشه به مسئله مونتی هال اشاره کرد که مخصوصا در مسابقه های تلویزیونی زیاد اتفاق میفته.
قانون مونتی هال
احتمالا در مسابقات تلویزیونی زیاد دیدید که مجری به شرکت کننده می گه از بین چند جعبه، جا یا شماره جایزه رو انتخاب کنه. و بعد با حذف چندتا جعبه و کلی هیجان بالاخره یک جعبه انتخاب میشه. شاید به نظر خیلی ساده بیاد ولی این اساس قضیه ای به نام مونتی هال هستش که بسیاری از ریاضی دانان رو درگیر خودش کرد. در سال 1963 برنامه تلویزیونی پخش می شد که اسم مجری اون مونتی بود و برنامه به مونتی شو معروف بود. در این برنامه شرکت کننده پس از برنده شدن در مراحل اولیه به آخرین مرحله می رسید که در اون سه در وجود داشت و در پشت یک در ماشین آخرین مدل قرار داشت و در پشت دو در دیگه بز وجود داشت. از شرکت کننده خواسته می شد یک در رو به تصادف انتخاب کنه ولی اون رو باز نکنه، سپس مجری که همون مونتی معروف بود، از بین دو در باقی مونده یک در رو باز می کرد که پشت در باز شده همیشه بز بود چون مونتی می دونست پشت کدوم در ماشین هستش. در این لحظه از شرکت کننده پرسیده می شد که همون دری که از اول انتخاب کرده رو می خواد یا دلش می خواد در رو عوض کنه؟ شما اگه جای شرکت کننده بودین در رو عوض می کردین یا همون دری که از اول انتخاب کردین رو نگه می داشتین؟ آیا اصلا فرقی هم می کنه؟ اکثر شرکت کننده ها همون انتخاب اول رو نگه می دارن چون از ازدست دادن جایی که تو دستشونه وحشت دارن. یعنی می ترسن جایزه رو انتخاب کرده باشن و با تعویض در، اون رو از دست بدن که این طبق نظریه های روانشناسی قابل پیش بینیه. احتمالا نظر شما اینه که احتمال برنده شدن 50-50 هست چون 2 تا در مونده و در هر صورت یکی از اون ها جایزه است. ولی این نظر هم اشتباهه و طبق روابط ریاضی ثابت میشه که شما همیشه باید در رو عوض کنین ولی چرا؟ چندین روش برای اثبات وجود داره ولی ما اینجا دو تا روش رو خیلی سریع براتون توضیح میدیم:
اول: همیشه احتمال اینکه شما در انتخاب اول بز رو انتخاب کنید 2/3 هست یعنی در ابتدا احتمال برنده نشدن 2 برابره. حالا اگه قرار بذاریم که همیشه انتخاب اول رو سوئیچ کنیم پس هروقت که ما در انتخاب اول بز رو انتخاب کنیم برنده ایم، چون بعد از تعویض به ماشین می رسیم و چون احتمال انتخاب بز در مرحله اول دو برابر ماشین هست پس همیشه اگر در رو تعویض کنیم احتمال برنده شدن دو برابره.
دوم: در روش دوم بز شماره 1 و بز شماره 2 و ماشین داریم. با تکمیل جدول داخل ویدئو سوال به راحتی حل میشه:
این هم یکی از کاربرد های ریاضی در مسابقات! یادتون باشه که در این شرایط همیشه جا به جایی رو انتخاب کنید مگه اینکه به بز بیشتر از ماشین علاقه داشته باشین!
پدیده های تصادفی
بسیاری از پدیده های اطراف ما تصادفی هستند ولی بعضی وقتا، بعضیا سعی دارن که با دستکاری اعداد و ارقام اتفاقاتی رو تصادفی جلوه بدن. امروز به کمک احتمال می خوایم به کشف حقیقت برسیم. واقعیت اینه که انسان ها در تصادفی نشون دادن اتفاق ها خیلی خوب نیستن.
در یک آزمایش از افراد خواسته شده 100 عدد رو به صورت تصادفی از بین 1تا 20 انتخاب کنن و از کامپیوتر هم خواسته شده همین کار رو بکنه. تحقیقات نشون میده انسان ها عدد 7 و 17 رو بیشتر از سایر اعداد استفاده می کنن و همچنین از اعداد مضرب 5 کمتر استفاده می کنن و این عاملیه که باعث میشه لیست هایی که توسط افراد تولید میشه به سرعت خودشون رو لو بدن. یعنی یکی از روش هایی که میشه به دروغ بودن آمار ها پی برد اینه که در اتفاقات تصادفی تعداد اعداد لیست که به عدد 7 ختم میشن زیاد و اعدادی که به عدد 5 یا صفر ختم میشن کمه.
در جنگ جهانی دوم یک ریاضی دان به نام RdClark تمام نقاطی که در لندن مورد اصابت بمب گرفته بود رو مشخص کرد. هدف این بود که متوجه بشن بمب ها به صورت تصادفی ریخته شدن یا نقاط خاص شهر برای دشمن لو رفته؟! به کمک علم احتمال و آمار و قانون پرسین تعیین کردن که در هر واحد سطح به صورت تصادفی چند بمب باید برخورد کنه و اون رو با واقعیت مقایسه کردن و مشخص شد که بمب ها کاملا تصادفی به روی لندن رها شده.
می بینین قوانین ریاضی از پرتاب یک سکه روی زمین تا پرتاب جت روی یک شهر، گستردگی داره.
ویدئو احتمال و حقیقت: