عدد نپر

برخلاف اکثر اعداد که از طریق هندسی به دست میان عدد e از طریق هندسی قابل توضیح نیست. مثلا عدد π از تقسیم محیط هر دایره ای به قطرش به دست میاد ولی داستان عدد نپر چیه؟
عدد e عددی گنگ هست یعنی مثل عدد π انتها و نظمی نداره. ولی به صورت تقریبی 2.7 درنظر گرفته میشه. عدد 2.7 برای اولین بار در سال 1618 توسط جان نپر مورد استفاده قرار گرفت ولی کشف واقعی این عدد توسط ژاکوب برنولی صورت گرفت. در ابتدا این عدد با نماد c  یا  b نشون داده می شد ولی برای اولین بار اویلر در سال 1727 از نماد e  برای نشون دادنش استفاده کرد. در مورد اینکه چرا اویلر از نماد e استفاده کرد، روایات زیادی هست. برخی  e رو اول کلمه exponential به معنای نمایی میدونن. بعضی ها اون رو اول نام اویلر "euler" می دونن. بعضی هم میگن چون حروف a , b ,c, d تا آن زمان خیلی در روابط ریاضی استفاده شده بود، اویلر اون رو با حرف e نشون داده. در هر صورت امروزه نماد عدد 2.7  حرف e می باشد که به اون عدد اویلر یا عدد نپر هم گفته میشه. عدد اویلر برای اولین بار تا 18 رقم اعشار توسط اویلر حساب شد ولی امروز تا 10¹⁴ رقم اعشار اون تعیین شده. همونطور که گفتیم عدد نپر از راه هندسی به دست نمیاد و یک نسبت ریاضی هست که در تمامی پدیده هایی که در مورد رشد و تغییر هست دیده میشه. یعنی هر پدیده ای که در حال تغییر هست وابسته به عدد e هستش. مثلا رشد باکتری ها، تغییرات دما، رشد سلول های بدن، رشد پولی که شما در بانک می ذارید تماما وابسته به عدد نپر  هستش.

 عدد نپر و سود بانکی

در قرن هفدهم، ژاکوب برنولی ریاضی دان و فیزیک دان سوئیسی بسیار علاقه مند به محاسبه سود بانکی بود و دنبال این بود که حداکثر سود بانکی رو محاسبه کنه. در واقع اون دنبال تعیین اثر مرکب رشد بوده که امروزه حتی در امور روانشناسی هم مورد توجه قرار گرفته. سعی می کنیم روش برنولی رو به زبان ساده توضیح بدیم:
فرض کنید شما در یک بانک یک دلار پول دارید و اون بانک خیلی دست ودلبازه و سالی 100 درصد سود به شما میده یعنی پول شما رو دو برابر می کنه. در واقع به عبارتی بعد از گذشت  یکسال پول شما میشه 2 دلار. حالا فرض کنید بانک به شما پیشنهاد بده که به جای اینکه سالی 100 درصد سود بده، هر 6ماه 50 درصد سود رو بده یعنی بعد 6ماه 50درصد و 6ماه بعد 50 درصد دیگه به شما سود بده. به نظرتون بدتره یا بهتر؟شما قبول می کردین؟ 
بیاید محاسبه کنیم. بعد 6 ماه 50 درصد سودتون به اضافه پول اولتون میشه 1.5 دلار. 6 ماه بعد 50 درصد به اضافه 1.5 دلاتون میشه 2.25 دلار یعنی بیشتر سود کردین. حالا اگه بانک هر سه ماه، 25 درصد سود بده یعنی سود سالیانه 100 درصد بشه هرسه ماه، 25 درصد  بعد از یک سال چقدر پول داریم؟
اگر محاسبات رو به درستی انجام بدیم میزان پول در بانک تقریبا 2.43 دلاره که میزان سود از حالت شش ماهه هم بیشتره. به همین روش اگه بانک سود رو به صورت روزانه بده بعد یکسال تقریبا 2.714 دلار پول داریم و اگه سود به صورت ساعتی، یا دقیقه ای یا ثانیه ای پرداخت بشه سود به عدد 2.718 میرسه که معادل عدد نپر هست. درواقع رابطه ای که پول رو بعد از یکسال میشه محاسبه کرد به صورت(1+1/n)  به توان n  است که n تعداد تقسیم هایی هست که قراره انجام بشه. اویلر به جای n، ∞ گذاشت و عدد e رو محاسبه کرد. اویلر عدد e رو همچنین از رابطه مشهور …+!e=1+1/1!+1/2 هم به دست آورد و ثابت کرد که این عدد گنگ هست  یعنی هیچ نظم و انتهایی نداره.

کاربرد عدد نپر
 

عدد نپر زبان رشد طبیعت هست یعنی هر چیزی که رشد و تغییر داره حتما به عدد نپر وابسته است. در زیست شناسی به کمک عدد نپر و توابع نمایی میزان تکثیر باکتری ها و یا رشد سلول های سرطان قابل محاسبه است. میزان کربن موجود در اشیا وابسته به توابع نمایی و عدد نپر که این امر باعث میشه دانشمندان قادر باشن سن واقعی فسیل ها و اشیا قدیمی رو به راحتی تعیین کنن. میزان قدرت ذرات رادیواکتیو در نیروگاه های هسته ای به کمک عدد نپر قابل محاسبه است. روزانه اتفاقات زیادی دور و برمون میفته که وابسته به عدد نپر هستش مثلا برای همه ما اتفاق افتاده که منتظر خنک شدن جسم داغی مثل چایی یا قهوه و یا غذایی که از فر خارج شده باشیم. جالبه که سرعت خنک شدن اجسام در محیط با عدد نپر نسبت داره. عدد نپر پدیده های تصادفی هم زیاد دیده میشه. مثلا فرض کنید احتمال برنده شدن در یک قرعه کشی، 1/1000000 باشد. اگر 1000000 بار قرعه کشی بشه احتمال اینکه شما در این قرعه کشی اسمتون درنیاد تقریبا برابر 1/e یا تقریبا 37 درصده. فرض کنید در یک مهمونی همه با چتر وارد میشن و چتر ها رو در اتاقی قرار میدن. و در آخر مهمونی هرکس به صورت تصادفی یک چتر رو برمیداره . اگه تعداد مهونا نسبتا زیاد باشه، احتمال اینکه هیچکس چتر خودش رو برنداشته باشه بازهم کسر 1 بر روی e  هست.
مثال دیگه فرض کنید یک دست ورق رو به صورت مرتب می چینیم و بعد شروع به قاطی کردن اونا می کنیم. احتمال اینکه هیچکدوم از ورق ها سرجاشون قرار نگیره باز هم همون 1 بر روی e  هست.

زیباترین معادله ریاضی

زیبا ترین معادله ریاضی رو معادله بالا می دونن چون مهم ترین اعداد ریاضی یعنی عدد اویلر e، عدد مختلط i، عدد پی، عدد 1 و عدد صفر در اون استفاده شده.

عدد نپر و موسیقی

یسری موسیقی دان ریاضی دوست براساس عدد نپر یک موسقی ساختن تا دوباره برای همه ثابت بشه که همه چی ریاضی هستش!

شاید عدد e به اندازه عدد پی معروف نباشه ولی همونطور که دیدین نقش اساسی در پدیده های دور و برمون داره. یادتون که نره همه چی ریاضی هستش!